{\centering \nonumsubsection{B \hspace{1em} 组}}

\begin{xiaotis}
\setcounter{cntxiaoti}{16}

\xiaoti{用综合除法求 $(a^3 - b^3 + c^3 + 3abc) \div (a - b + c)$ 的商式及余数。}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{证明 $x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$ 有因式 $x + y + z$，并把它分解因式；}

    \xiaoxiaoti{利用第 (1) 小题的结果把下列各式分解因式：}

    \rule{5em}{0pt}\twoInLine[14em]{(i) \; $a^3 - b^3 + c^3 + 3abc$；}{(ii) \; $8a^3 + b^3 + c^3 - 6abc$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{}%
\begin{xiaoxiaotis}%
    \xiaoxiaoti[\xxtsep]{证明 $a(b - c)^3 + b(c - a)^3 + c(a - b)^3$ 有因式 $a - b$，$b - c$，$c - a$，并把它分解因式；}

    \xiaoxiaoti{ 证明 $(ay + bx)^3 + (ax + by)^3 - (a^3 + b^3)(x^3 + y^3)$ 有因式 $x + y$，也有因式 $a + b$，并把它分解因式。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{把 $y^7 + 2y^6 - y^5 - 2y^4 + 4y^3 + 8y^2 - 4y - 8$ 分解因式。}

\xiaoti{已知 $x^4 + ax^3 - 4x^2 + bx - 12$ 有因式 $x - 2$，又有因式 $x + 3$，确定 $a,\, b$ 的值，并把这个多项式分解因式。}

\xiaoti{已知 $x^4 + 4x^2 + ax + b$ 有一个因式 $x^2 + x + 1$，求 $a,\, b$ 的值，并把这个多项式分解因式。}

\xiaoti{已知多项式 $f(x)$ 除以 $x + 2$ 所得的余数为 $1$，除以 $x + 3$ 所得的余数为 $-1$。
    求 $f(x)$ 除以 $(x + 2) (x + 3)$ 所得的余式。
}

\xiaoti{求证多项式 $f(x)$ 除以 $(x - a) (x - b) \; (\text{其中}\; a \neq b)$ 所得的余式是
    $$ \dfrac{f(a) - f(b)}{a - b} x + \dfrac{af(b) - bf(a)}{a - b} \text{。} $$
}

\xiaoti{设方程 $x^3 - x^2 + 3x - 2 = 0$ 在复数集 $C$ 中的根是 $x_1,\, x_2,\, x_3$。}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{求证 $x_1,\, x_2,\, x_3$ 都不是有理数；}

    \xiaoxiaoti{求证 $x_1,\, x_2,\, x_3$ 中有两个是虚数（提示：先求出 $x_1^2 + x_2^2 + x_3^2$ 的值）；}

    \xiaoxiaoti{求证对任何实数 $k$，方程 $x^3 - x^2 + 3x + k = 0$ 有两个虚数根。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{在复数集 $C$ 中解下列关于 $x$ 的方程：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$x^3 - (a - 1)x^2 - a^2 = 0 \; \left( a > \dfrac{1}{4} \right)$；}

    \xiaoxiaoti{$x^3 + (k^2 - 2)x = 2k(x^2 - 1)$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{利用二次方程的解法解下列方程：}
\begin{xiaoxiaotis}

    \xiaoxiaoti{$(x^3 + 1)^2 + 3 = 0$；}

    \xiaoxiaoti{$(x - 2)^2 (x^2 + 2x + 4)^2 - 49 = 0$。}

\end{xiaoxiaotis}


\xiaoti{在复数集 $C$ 中解方程组
    $$\begin{cases}
        x = y^2 + 4y + 1, \\
        y = x^2 + 2x - 3 \text{。}
    \end{cases}$$
}


\xiaoti{求方程 $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 0$ 在复数集 $C$ 中的解集（提示：在方程两边都乘以 $x - 1$）。}


\xiaoti{求证 $\cos\dfrac{\pi}{7} + \cos\dfrac{3\pi}{7} + \cos\dfrac{5\pi}{7} = \dfrac{1}{2}$ \;
    （提示： 考虑方程 $x^7 - 1 = 0$ 在复数集 $C$ 中的解集）。
}

\end{xiaotis}

